音乐软件中“随机播放”引出的数学问题

一、由最朴素的负二项分布引入

笔者近来养成了写作业时喜欢听歌的坏习惯，某日学习《概率论》的时候在歌单里找到了A歌曲，从此首歌开始随机播放歌单里的所有歌曲（为取一般性，歌单一共 $N$ 首歌，平均取每首歌时长 $n$ 分钟），并决定下一次听到A歌曲的时候就停止学习。为了让学习时长看上去不那么模糊，笔者选择计算一下学习时长的期望。

问题可以简化为：定下第一首歌为A，后续的每一首歌都等可能地从 $N$ 首歌里选择，记 $X$ 为下一次听到A歌前听的歌曲数目（包括定下的第一首A歌曲），即求 $E[X]$ 。

这是一个最朴素的负二项分布，我们有

$P(X=k)=\left(\frac{N-1}{N}\right)^{k-1}\frac{1}{N}$

很容易算出期望

$E[X]=\sum_{k=1}^{+\infty}kP(X=k)$

代入有

$E[X]=\sum_{k=1}^{+\infty}k\left(\frac{N-1}{N}\right)^{k-1}\frac{1}{N}$

运用一下高中的错位相减法并取一下极限即可得到

$E[X]=\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{N-1}{N}\right)^{k-1}=N$

这样，笔者平均学习 $Nn$ 时长就可以停止学习了。

这个随机播放的模型看上去很正常，期望是歌单内的总歌曲数目也符合实际，但是细究一下会发现，看上去的“随机播放”在用户体感上可能并不随机。

二、出现问题

如果我们考虑 $X\le k$ ，即播放不到 $k$ 首歌就能再次听到A歌曲的概率，就可以发现

$P(X\le k)=\sum_{i=1}^{k}P(X=i)$

代入有

$P(X\le k)=1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^{k}$

我们取 $k= \tilde{k}N$ ，即播放不到歌单比例 $\tilde{k}$ 的歌曲数就能再次听到A歌曲，带入后即得到

$P(X\le k)=1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^{\tilde{k}N}$

如果歌单中歌曲总数 $N$ 不算太小的时候（以笔者歌单中的40首歌为例， $\left(1-\cfrac{1}{40}\right)^{40}\approx 0.3632$ ，而 $e^{-1}\approx 0.3679$ ，也就是说在歌单歌曲数在40左右时，就已经有很好的近似程度了），上式趋近于

$P(X\le k)=1-\frac{1}{e^{\tilde{k}}}$

这样看可能不太直观，我们不妨取一个具体的 $\tilde{k}=20\%$ ，得到约有 $18.13\%$ 的概率在听完不到五分之一的歌曲之后就会听到A歌曲。也就是说笔者有 $18.13\%$ 的概率在听完不到五分之一的歌曲之后就可以停止学习。由于学习次数的基数大，那么遇到这种情况的次数不会很低，再加上人通常对小概率事件的注意力更多，因此体感上笔者会觉得学了一学期之后，经常能碰到单次学习时长只有期望的五分之一的情况。

往大处看，由于音乐软件用户基数大，最后 $18.13\%$ 的人数量会很多，而在这些用户的体感上来看，“随机播放”看上去也没有那么随机了。此时，真随机在体感上来看不像是随机。

三、试图缓解问题

既然最朴素的真随机在体感上不像是随机，那么我们就试图开拓一个新的随机播放形式，使得随机播放不再是真随机，但是在体感上看来更像是随机播放。

接下来所用符号，如无特别说明，与前文一致。

我们现在可以虚构出一个程序，它能使得任意两首相同的歌曲之间至少有 $\tilde{k}N$ 首歌，即在下一次听到A歌曲之前，至少已经听了 $k+1$ 首歌。这样的话，我们至少可以保证：
不会再发生原先约 $1-\cfrac{1}{e^{\tilde{k}}}$ 的人在听完不到 $\tilde{k}$ 比例的歌就能再听到A歌曲的情况，从而在体感上让他们感觉“随机播放”确实是“随机”的。

此时我们不妨也算一算，在虚构程序的干预下，下一次再听到A歌曲前听的歌曲数目的期望。

这里我们可以做一个简单的模型来便于理解这个虚构程序。假设有一个池子里放了 $N$ 个小球，每次从里面拿一个小球拿在手上（注意要保留顺序），然后直到手上的小球数达到 $k$ 个时，下一次拿球的时候就要弃置手上的最早拿的球。如此往复。现在我们的问题是一开始取到的小球标记为A，然后按上述规则不断拿球，直到再次拿到A球，此时统计一下之前拿的球数记为 $X$ 。稍加思考便知此模型与随机播放歌曲的模型等价。接下来开始正式求期望。

首先，由于虚构程序的干预，我们有

$P(X=1,2,…,k)=0$

$P(X=k+1)=\frac{1}{N-k}$

第二个式子前省略了 $k$ 个1相乘，这个是因为在播放完 $k$ 首歌之前，虚构程序使得都无法取到A歌曲，于是可以随便在池子里拿球。直到手上有 $k$ 个球的时候，此时在池子里随便取一个球，同时A球被弃置到池子里，下一次取到A球的概率即为 $\cfrac{1}{N-k}$ 。

依照此思想可以得到后续的概率 $(i\ge k+1)$ 为 $P(X=i)=$

$\left(\frac{N-k-1}{N-k}\right)^{i-k-1}\frac{1}{N-k}$

万事俱备，我们可以求期望了。得到

$E[X]=\sum_{i=1}^{+\infty}iP(X=i)$

同理运用一下错位相减即得

$E[X]=k+\sum_{i=1}^{+\infty}\left(\frac{N-k-1}{N-k}\right)^{i-1}$

化简得到

$E[X]=k+N-k=N$

于是我们得到了一个惊人的结论，即在虚构程序的作用下，下一次听到A歌前听到的歌曲数的期望总是 $N$ 。也就是说，我们虚构出的程序在不改变总期望的情况下，减少了用户体感上的“不随机感”，因此这个虚构程序看起来较为成功。

四、模型的延伸思考

最后，我们可以改变此模型中的 $k$ 来达到不同程度上的“体感随机性”。

1.若取 $k=0$ ，那么此模型就变回了最开始的朴素的真随机播放模式。

2.若取 $k=N-1$ ，则在听到下一次A歌曲之前，歌单内的所有歌曲都会被播放且仅播放一次，且之后的播放会严格按照第一轮播放歌曲的顺序播放，算得上是一种“用户无法操控”的顺序播放（这里用户无法操控的意思是，用户从第二轮播放开始，就能察觉到歌曲播放顺序被固定，但是无法做到播放之前就确定下来歌曲播放的顺序）。

至此，我们由一个平常的随机播放问题，引出了一个数学问题，并建立了一个虚构程序来解决问题。

顺利产出一篇学术垃圾（bushi）

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音乐软件中“随机播放”引出的数学问题

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